大意: 给定$n$个$m$维向量, 定义$count(x)$为对于$x$合法的向量个数.

一个向量$v$对于$x$合法, 要对于所有的$i\in [1,m]$, 满足$v_i\space and \space x $二进制中有奇数个$1$

求$\oplus_{x=0}^{2^k-1}(count(x)\cdot 3^x\mod 1e9+7)$

 

记$|x\cap y|$为$x\space and \space y$二进制中$1$的个数, 有

$$count(x)=\frac{1}{2^m}\sum\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^m(1-(-1)^{|v_{i,j}\cap x|})$$

这是因为当上式积中只要有一个不成立就为$0$, 全成立的话就为$2^m$

将上式的积展开可以得到

$$\prod\limits_{i=1}^m(1-(-1)^{|a_i\cap x|})=1-\sum(-1)^{|x\cap a_i|}+\sum(-1)^{|x\cap a_i|+|x\cap a_j|}-\cdots$$

再注意到

$$(-1)^{\sum |x\cap a_i|}=(-1)^{|x \cap \oplus a_i|}$$

根据沃尔什变换有

$$\sum f_y (-1)^{|x\cap y|}=\hat{f_x}$$

所以根据容斥求出$f_y$后进行快速沃尔什变换即可.